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菱形性质和判定定理(菱形性质与判定的灵活运用)

时间:2024-07-18 15:00:48

菱形具有一般平行四边形的所有性质,同时又具有一些特殊性,可归纳为三个方面:(1)对边平行,四边相等;(2)对角相等,邻角互补;(3)对角线互相垂直平分,且每一条对角线平分一组对角.判定一个四边形是菱形,可以先判定这个四边形是平行四边形,再证明一组邻边相等或对角线互相垂直,也可直接证明四边相等.

【题目呈现】

一,证明菱形

1.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作cE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.

(1)求证:四边形ABCD是菱形;

(2)若AB=√5,BD=2,求OE的长..

【分析】(1)由于AB∥CD,则∠CAB=∠ACD,又由于AC平分∠BAD,∴∠CAB=∠CAD,∴∠ACD=∠CAD,∴AD=CD,又AD=AB,∴AB=CD,又AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.

(2)∵四边形ABCD是菱形,AC⊥BD,AC与BD互相平分,∵CE⊥AB,∴OE=OA,由于BD=2,则OB=1,在Rt△AOB中,可求得OA=2,∴OE=2.

2.如图,已知四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD,过O点作EF⊥BD,分別交AD,BC于点E,F,判断四边形BEDF的形状,并说明理由.

【分析】由OA=OC,OB=OD,所以四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ADO=∠CBO,∵EF⊥BD,∴∠EOD=∠FOB=90°,又OB=OD,∴△EOD≌△FOB,∴ED=BF,而ED∥BF,∴四边形BEDF为平行四边形,又EF⊥BD,∴四边形BEDF为菱形.

二,求角的度数

3.如图,菱形ABCD中,E,F分别在BC,CD上,且∠B=∠EAF=60°,∠BAE=15°,求∠CEF的度数.

‘【分析】由于四边形ABCD是菱形,∠B=∠EAF=60°,∴△ABC是等边三角形,AB=AC,∠BAC=∠EAF=60°,而∠BAE=15°,∴∠CAF=∠BAE=15°,由于AC平分∠BCD,∴∠ACF=∠ABE=60°,∴△BAE≌△CAF,∴AE=AF,又∠EAF=60°,∴△AEF为等边三角形,∴∠AEF=60°,而∠AEC=∠BAE+∠ABE=15°+60°=75°,∴∠CEF=∠AEC一∠AEF=75°一60°=15°.

4.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点,且CE=CF,过点C作CG∥EA交AF于H,交AD于G,若∠BAE=25°,∠BCD=130°,求∠AHC的度数.

【分析】由于菱形四条也相等,即AB=AD=BC=CD,而CE=CF,∴BE=DF,又∠B=∠D,∴△ABE≌△ADF,∴∠FAD=∠BAE=25°,由于∠BCD=130°,∴∠B=50°,∴∠AEC=∠B+∠BAE=50°+25°=75°,∵AD∥BC,CG∥EA,∴四边形AECG是平行四边形,∴∠AGH=∠AEC=75°,∴∠AHC=∠FAD+∠AGH=25°+75°=100°.

三,求线段的长

5.如图,在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于点M,过M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2.

(1)若CE=1,求BC的长;

(2)求证:AM=DF+ME.

【分析】(1)∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD,∠1=∠DCA,∵∠1=∠2,∴∠2=∠DCA,∴DM=CM,∴ME⊥CD,CE=1,∴CD=2CE=2,∴BC=CD=2.

(2)由于F是BC的中点,我们想到中线倍长,延长DF,交AB的延长线于G,如图,

∵F是BC的中点,∴BC=2CF=2BF,∵CD=2CE,BC=CD,∴CE=CF,由题易知∠ECM=∠FCM,又CM=CM,∴△CEM≌△CFM,∴ME=MF,∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,∴∠2=∠G,又∵∠DFC=∠GFB,CF=BF,∴△DCF≌△GBF,∴DF=GF,∵∠2=∠G,∠1=∠2,∴∠1=∠G,∴AM=GM,又∵MG=GF+MF,DF=GF,ME=MF,∴AM=DF+ME.

四,求面积

6.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中,点过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.

(1)证明四边形ADCF是菱形;

(2)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积.

【分析】(1)∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,又E是AD的中点,∴AE=DE,而∠AEF=∠DEB,∴△AEF≌△DEB,∴AF=DB,又DB=DC,∴AF=DC,而AF∥BC,∴四边形ADCF是平行四边形,∵∠BAC=90°,DB=DC,∴AD=DC,∴四边形ADCF是菱形.

(2)设菱形DC边上的高为h,则Rt△ABC斜边BC边上的高也为h,∵BC=√(5²+4²)=√41,∴CD=BC/2=√41/2,∴h=4×5/√41=20/√41,∴菱形ADCF的面积为DC×h=10.

五.求最值

7.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E为AB的中点,F是AC上一动点,求EF+BF的最小值.

【分析】本题是典型的将军饮马问题,由于菱形ABCD的对角线AC与BD互相垂直平分,所以连接DB,则点B关于AC的对称点为点D,∴DF=BF,连接DE交AC于M,连接DF,如图,

则EF+BF=EF+DF≥DE,只有当点F运动到点M的位置时取等号,在△ABD中,AD=AB,∠DAB=60°,∴△ABD为等边三角形,又E为AB的中点,∴DE⊥AB,∴AE=AB/2=1,∴DE=√(AD²一AE²)=√3,∴EF+BF的最小值为√3.

六,解折叠问题

8.如图①,将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠,顶点C落到点E处,BE交AD于点F.

(1)求证:△BDF是等腰三角形.

(2)如图②,过点D作DG∥BE,交BC于点G,连接FG交BD于点O.

①判断四边形BFDG的形状`,并说明理由;

②若AB=6,AD=8,求FG的长.

【分析】(1)由折叠知△BDC≌△BDE,∴∠DBC=∠DBE,又∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DBC=∠FDB,∴∠DBE=∠FDB,∴DF=BF,∴△BDF是等腰三角形.

(2)①,∵四边形ABCD是矩形,∴FD∥BG,∵DG∥BE,∴四边形BFDG是平行四边形,又DF=BF,∴四边形BFDG是菱形.

②∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∴BD=√(AB²+AD²)=10,又∵四边形BFDG是菱形,∴GF⊥BD,FG=2OF,OB=BD/2=5,设DF=BF=x,则AF=AD一DF=8一x,在Rt△ABF中,AB²+AF²=BF²,即6²+(8一x)²=x²,解得x=25/4,∴FB=25/4,在Rt△FOB中,FO=√(BF²一OB²)=15/4,∴FG=2FO=15/2.