三角形当中除了余弦定理,正玄定理,还有一个十分有用的定理叫做射影定理:
射影定理: 三角形ABC,角A,B,C,分别对应的边为a,b,c则
射影定理证明
a=c.cosB+b.cosC
b=a.cosC+c.cosA
c=a.cosB+b.cosA
证明过程: 先证明a=c.cosB+b.cosC
从A点向边BC做垂线,垂足为D,则 BD+CD=BC
在直角三角形ABD中: BD=c.cosB CD=b.cosC
因为BC=a,所以 BD+CD=c.cosB+b.cosC=a
同理可以证明其他成立
二: 应用与举例:
名校高三 三角形函数脚解答题
(1)问分析: 从已知条件来看: b.cosC+C.cosB+a/2cosA=0 正好可以利用三角形的射影定理来代入: 即: b.cosC+c.cosB=a ,代入得到: a+a/2cosA=0,即 cosA=-1/2 所以A=2/3π
(2)问: 面积问题S:=1/2bc.sinA 求出bc值
然后再通过余弦定理 a²=b²+c²-2bccosA 可以出范围
详细解题如下
归纳总结: 三角形里面的知识点比较多,考题的时候按照已知信息不断罗列即可求解